Formule de Stokes

La formule de Stokes est une généralisation de la formule de Green. Elle relie le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface avec la circulation du champ autour de celle-ci. Elle constitue un cas particulier du théorème de Stokes généralisé: un champ vectoriel sur R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} peut être considéré comme une 1-forme ; dans ce cas, son rotationnel correspond à sa dérivée extérieure, une 2-forme. Soit ∂ S {\displaystyle \partial S} , une courbe fermée orientée dans R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , S une surface orientée dont le contour est ∂ S {\displaystyle \partial S} . L'orientation de ∂ S {\displaystyle \partial S} est induite par l'orientation de S. Si le champ vectoriel V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} admet des dérivées partielles continues, alors : ∮ ∂ S V → ⋅ d l → = ∫ ∫ S r o t → V → ⋅ n → d S {\displaystyle \oint _{\partial S}{\vec {V}}\cdot d{\vec {l}}=\int \!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {V}}\cdot {\vec {n}}dS} où d l → {\displaystyle d{\vec {l}}} est le vecteur directeur de la courbe en tout point, r o t V → = ∇ ∧ V → {\displaystyle rot\ {\vec {V}}=\nabla \wedge {\vec {V}}} le rotationnel de V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} , et d S → {\displaystyle d{\vec {S}}} le vecteur normal à un élément de surface infinitésimal dont la norme est égale à la surface de l'élément. Son application directe est le Théorème d'Ampère (on l'applique au champ magnétique).