Ensemble fini

En mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini. Ainsi l'ensemble des chiffres usuels (en base dix) { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}} qui possède 10 éléments, est fini. De même l'ensemble des lettres de l'alphabet qui possède 26 éléments. L'ensemble de tous les nombres entiers naturels { 0 , 1 , 2 , 3 , … , 10 , … , 100 , … } {\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots ,10,\ldots ,100,\ldots \}} est, lui, infini : on peut toujours aller au-delà d'un nombre entier. De même, l'ensemble de tous les mots que l'on peut former avec les 26 lettres de l'alphabet, sans se préoccuper de leur signification, et sans restreindre leur longueur, est lui aussi infini. Plus formellement, un ensemble E {\displaystyle E} est dit fini s'il existe un entier naturel n {\displaystyle n} et une bijection entre E {\displaystyle E} et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n {\displaystyle n} . Cet entier n {\displaystyle n} , qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini E {\displaystyle E} . Établir une telle bijection revient à étiqueter les éléments de E {\displaystyle E} avec les entiers de 0 {\displaystyle 0} à n − 1 {\displaystyle n-1} ou, ce qui revient au même, avec les entiers de 1 {\displaystyle 1} à n {\displaystyle n} . Une propriété importante des ensembles finis est donnée par le principe des tiroirs de Dirichlet : une fonction d'un ensemble fini dans un ensemble fini de cardinal strictement inférieur ne peut être injective....