Exponentielle de base a

En analyse réelle, l'exponentielle de base a est la fonction notée expa qui, à tout réel x, associe le réel ax. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe an. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme exp a ⁡ ( x ) = a x = e x ln ⁡ ( a ) . {\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}={\rm {e}}^{x\ln(a)}.} Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit. Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas a = e correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien. Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur ℝ, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population. On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est N ax.