Fonction exponentielle

En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ». On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle : ∀ x exp ⁡ ( x ) = e x {\displaystyle \forall x\quad \exp(x)=\mathrm {e} ^{x}} . La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a. On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière. C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de C {\displaystyle \mathbb {C} } vers C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach. Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc. On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme f ( x ) = A e λ x {\displaystyle f(x)=Ae^{\lambda x}}