Fonction coercive

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si « elle tend vers l'infini à l'infini », éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ (définition 1). Cette notion est employée sous cette forme dans deux ouvrages de P.G. Ciarlet (1982 et 1990). Une définition différente mais équivalente pour les formes bilinéaires est utilisée, par une minoration précise d'une fonction associée à une forme bilinéaire (Dautray et Lions 1985),(Ciarlet et Lions 1991) : ∀ u ∈ V , a ( u , u ) ≥ α | | u | | V 2 , α > 0. {\displaystyle \forall u\in V,a(u,u)\geq \alpha \vert \vert u\vert \vert _{V}^{2},\alpha >0.} Par extension, cette deuxième définition s'étend aux fonctions qui ne sont plus quadratiques, et correspond à l'existence d'un α {\displaystyle \alpha } indépendant de u {\displaystyle u} pour la coercivité de la forme quadratique w → ( f ″ ( u ) w , w ) {\displaystyle w\rightarrow (f''(u)w,w)} , cette notion s'appelle aussi α {\displaystyle \alpha } -convexité et la notion d'« infini à l'infini » est souvent employée à la place de coercivité pour faire la différence entre des inégalités précises et un comportement à l'infini. En particulier, une fonction coercive continue sous le sens de la définition 1 a un point de minimum (pas forcément unique) uniquement dans un sous-espace d'un espace vectoriel de dimension finie, alors qu'au sens de la définition 2 le minimum existe et est unique quand f {\displaystyle f} est deux fois dérivable dans tout Hilbert. En analyse fonctionnelle la coercivité est aussi définie pour les opérateurs d’un espace de Hilbert dans lui-même et plus généralement pour les opérateurs d'un espace de Banach dans son dual topologique.