Fonction convexe

En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} du graphe de la fonction, le segment [ A B ] {\displaystyle [AB]} est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse. En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel I {\displaystyle I} est convexe lorsque, pour tous x {\displaystyle x} et y {\displaystyle y} de I {\displaystyle I} et tout t {\displaystyle t} dans [ 0 ; 1 ] {\displaystyle [0;1]} on a : f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f\left(tx+(1-t)y\right)\leq t\,f(x)+(1-t)\,f(y)} Lorsque l'inégalité est stricte (avec x {\displaystyle x} différent de y {\displaystyle y} et t {\displaystyle t} dans ] 0 ; 1 [ {\displaystyle ]0;1[} ), on parle de fonction strictement convexe. La fonction carré et la fonction exponentielle sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l'ensemble réel R {\displaystyle \mathbb {R} } . Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel (ou affine) arbitraire et à valeurs dans la droite réelle achevée R ¯ = R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty...