Formule de Moivre

La formule de Moivre affirme que, pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif n : ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) ( 1 ) {\displaystyle \left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)\quad (1)} Le nombre i désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de –1. Elle porte le nom du mathématicien français Abraham de Moivre, qui a utilisé une formule relativement proche dans ses écrits. Cette formule met en relation les nombres complexes et les fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Parfois la formule est réécrite en remplaçant « cos (x) + i sin (x) » par « exp(ix) ». C'est la formule d'Euler. En élevant les deux membres de cette formule à la puissance n, on démontre directement la formule de Moivre. C'est donc une démonstration qui est beaucoup plus simple que la démonstration par récurrence donnée ci-dessous.