Fraction continue

En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée est une expression de la forme : a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + … {\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}} comportant un nombre fini ou infini d'étages. On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a 0 {\displaystyle a_{0}} est un entier relatif et les autres a i {\displaystyle a_{i}} des entiers strictement positifs (appelés les coefficients du développement en fraction continue, ou ses quotients partiels, ou encore ses quotients incomplets). Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on ajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel. Les fractions continues sont utiles en approximation diophantienne, notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des rationnels. Cette propriété est à l'origine d'algorithmes pour l'approximation de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de transcendance pour certains nombres comme π ou e. La périodicité des fractions continues des racines carrées d'entiers strictement supérieurs à 1 et sans facteur carré a des conséquences utiles pour l'étude de l'équation de Pell-Fermat. Déjà usitées chez les mathématiciens indiens au Moyen Âge, les fractions continues sont étudiées en Europe dès le XVIIe...