Gradient

En mathématiques et en physique, le gradient d'une fonction de plusieurs variables est un champ de vecteurs qui combine en chaque point les différentes dérivées partielles et donne ainsi à la fois la direction de la variation la plus forte localement et l’intensité de cette variation. Pour une fonction représentant l’altitude, il suit les lignes de plus grande pente (dans le sens de la montée), avec une norme égale à cette pente. Lorsque la fonction ne dépend que d’une seule variable réelle, le gradient se confond avec la dérivée usuelle, comme en météorologie où le gradient de température est assimilé au taux de variation de la température selon l'altitude. Le gradient d’une fonction f est noté grad(f) ou avec l’opérateur nabla ∇ f {\displaystyle \nabla f} , parfois avec des flèches suscrites. En chaque point où il est défini, le produit scalaire avec le gradient constitue la différentielle de la fonction, c’est-à-dire la partie linéaire de son développement limité à l’ordre 1. Par exemple, pour une fonction de trois variables admettant des dérivées partielles en un point a, pour une petite variation h = (h1, h2, h3), on trouve f ( a + h ) − f ( a ) ≈ d f a ( h ) = ⟨ ∇ f a , h ⟩ = ∂ f ∂ x ( a ) h 1 + ∂ f ∂ y ( a ) h 2 + ∂ f ∂ z ( a ) h 3 . {\displaystyle f(a+h)-f(a)\approx \operatorname {d} \!f_{a}(h)=\langle \nabla f_{a},h\rangle ={\frac {\partial f}{\partial x}}(a)\ h_{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(a)\ h_{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}(a)\ h_{3}.} Cette méthode permet d'approcher localement une fonction de plusieurs variables par une forme linéaire. La notion s’étend aux fonctions réelles définies sur une variété riemannienne. Le gradient est toujours orthogonal aux lignes de niveau...