SL2(R)

En mathématiques, le groupe spécial linéaire SL(2, R) ou SL2(R) est le groupe des matrices réelles 2 × 2 de déterminant 1 : SL ( 2 , R ) = { ( a b c d ) : a , b , c , d ∈ R et a d − b c = 1 } . {\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ et }}ad-bc=1\right\}.} C'est un groupe de Lie réel simple non compact, connexe, de dimension 3, qui intervient dans des applications en géométrie, en topologie, en théorie des représentations et en physique. Le groupe SL(2, R) agit sur le demi-plan de Poincaré par des fonctions homographiques. Cette action de groupe se factorise par le quotient PSL(2, R) (le groupe spécial linéaire projectif (en) d'ordre 2 sur R). Plus précisément, PSL(2, R) = SL(2, R) / {±I}, où I désigne la matrice identité de taille 2 × 2. Ce groupe contient le groupe modulaire PSL(2, Z). Le groupe SL(2, R) admet un revêtement double, Mp(2, R), un groupe métaplectique, ce qui provient du fait qu'on peut considérer SL(2, R) comme un groupe symplectique. Un autre groupe apparenté est SL±(2, R), le groupe des matrices réelles 2 × 2 de déterminant ±1 ; ce groupe est cependant plus souvent utilisé dans le contexte du groupe modulaire.