Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto. Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto A {\displaystyle A} fechado, seu complementar A c {\displaystyle A^{c}} é aberto e vice versa. Então A {\displaystyle A} é aberto se, e somente se, A c {\displaystyle A^{c}} é fechado. Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto. Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto. Demonstração: Dado A 1 {\displaystyle A_{1}} e A 2 {\displaystyle A_{2}} abertos, a união destes dois é ∪ ( A 1 , A 2 ) = A {\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A} . Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à A 1 {\displaystyle A_{1}} ou à A 2 {\displaystyle A_{2}} (possivelmente à ambos), se estiver em A 1 {\displaystyle A_{1}} existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de A 1 {\displaystyle A_{1}} , o mesmo para A 2 {\displaystyle A_{2}} . Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de ∪ ( A 1 , A 2 ) = A {\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A} . Isso se generaliza para A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ; n ∈ N {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup {...}\cup A_{n};n\in \mathbb {N} } é aberto, se cada A...