K-teoria

Na matemática, a teoria K é, grosso modo, o estudo de um anel gerado por fibrados vetoriais sobre um espaço topológico ou esquema. Na topologia algébrica, é uma teoria de coomologia conhecida como teoria K topológica. Na álgebra e na geometria algébrica, é referida como teoria K algébrica. É também uma ferramenta fundamental no campo das álgebras de operadores. Pode ser vista como o estudo de certos tipos de invariantes de matrizes grandes. A teoria K envolve a construção de famílias de funtores K que mapeiam espaços topológicos ou esquemas, ou para ser ainda mais geral: qualquer objeto de uma categoria de homotopia em anéis associados; esses anéis refletem alguns aspectos da estrutura dos espaços ou esquemas originais. Assim como ocorre com os funtores para grupos na topologia algébrica, a razão para esse mapeamento funtorial é que é mais fácil calcular algumas propriedades topológicas a partir dos anéis mapeados do que a partir dos espaços ou esquemas originais. Exemplos de resultados obtidos a partir da abordagem da teoria K incluem o Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, a periodicidade de Bott, o Teorema do índice de Atiyah-Singer e as operações de Adams. Na física de altas energias, a teoria K e, em particular, a teoria K torcida apareceram na teoria das cordas tipo II, onde se conjecturou que elas classificam D-branas, intensidades de campo de Ramond-Ramond e também certos espinores em variedades complexas generalizadas. Na física da matéria condensada, a teoria K tem sido usada para classificar isolantes topológicos, supercondutores e superfícies de Fermi estáveis. Para mais detalhes, veja Teoria K (física).