K3 (geometria)

A superfície de Kummer se refere à contribuição dada pelo matemático alemão Ernest Kummer para a geometria. Foi muito mais tarde encontrada por Eddington relacionada com a teoria de Dirac sobre o elétron. Em matemática, uma superfície complexa K3 analítica é uma variedade complexa compacta e conexa de dimensão 2 com feixe canônico trivial e irregularidade zero. Uma superfície K3 (algébrica) sobre qualquer corpo significa uma suave própria, variedade algébrica geometricamente conexa que satisfaz as mesmas condições. Na classificação de Enriques–Kodaira de superfícies, as superfícies K3 formam uma das quatro classes de superfícies mínimas de dimensão de Kodaira zero. Um exemplo simples é a superfície quártica de Fermat x 4 + y 4 + z 4 + w 4 = 0 {\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0} no espaço projetivo complexo 3-dimensional. Junto com toros complexos compactos de duas dimensões, as superfícies K3 são variedades de Calabi–Yau (e também variedades hiper-Kähler) de dimensão dois. Como tal, estão no centro da classificação de superfícies algébricas, entre as superfícies de curvatura positiva de del Pezzo (que são fáceis de classificar) e as superfícies de curvatura negativa de tipo geral (que são essencialmente não classificáveis). As superfícies K3 podem ser consideradas as variedades algébricas mais simples cuja estrutura não se reduz a curvas ou variedades abelianas, e ainda assim é possível um entendimento substancial. Uma superfície K3 complexa tem dimensão real 4 e desempenha um papel importante no estudo de variedades suaves de dimensão 4. As superfícies K3 foram aplicadas a álgebra de Kac–Moody, simetria espelhada e teoria das cordas. Pode ser útil pensar nas superfícies K3 algébricas complexas como parte da família mais ampla de superfícies K3 analíticas complexas. Muitos outros tipos de variedades algébricas não possuem tais deformações não algébricas.