Problema de Waring

Por exemplo, se k é igual a 3, estamos tratando de cubos, e o problema de Waring seria encontrar um número s, associado a k, de tal forma que qualquer número n pudesse ser representado pela soma de no máximo s cubos perfeitos (1, 8, 27, 64...) Da mesma forma, sendo k igual a 4, tratamos de potências de quatro, e o problema seria encontrar um s tal que qualquer n pudesse ser representado como uma soma de no máximo s potências de quatro (1, 16, 81, 256...) Para cada k, chamamos g(k) o número mínimo s de potências de ordem k necessárias para representar todos os números naturais. Note que g(1) = 1, já que qualquer número natural é, ele próprio, uma potência de ordem 1. Alguns cálculos simples nos mostram que, por exemplo, 7 é a soma de 4 quadrados (4 + 1 + 1 + 1), 23 requer 9 cubos (8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) e 79 requer 19 potências de 4 (4×16 + 15×1). Estes exemplos demonstram que g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9 e g(4) ≥ 19. Waring conjecturou se estes valores seriam de fato os melhores possíveis. O teorema das potências de quatro de Lagrange, de 1770, afirma que que qualquer número natural é a soma de no máximo 4 quadrados; uma vez que 3 quadrados não seriam suficientes, o teorema estabelece que g(2) = 4.