Complemento de Schur

En álgebra lineal y teoría de matrices, el complemento de Schur de un bloque de matriz (es decir, de una submatriz dentro de una matriz más grande) se define de la manera siguiente: Supóngase que A, B, C y D son respectivamente matrices de orden p×p, p×q, q×p y q×q, y que D es invertible. Sea M = [ A B C D ] {\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]} de modo que M es una matriz de orden (p+q)×(p+q). Entonces, se define el complemento de Schur del bloque D de la matriz M como la matriz de orden p×p M / D := A − B D − 1 C {\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C\,} y el complemento de Schur del bloque A de la matriz M se define como la matriz de orden q×q M / A := D − C A − 1 B . {\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B.\,} En el caso de que A o D sean matrices singulares, las inversas M/A y M/D pueden ser reemplazadas por un inverso generalizado, produciendo lo que se llama un complemento de Schur generalizado. El complemento de Schur lleva el nombre de Issai Schur, que lo utilizó para probar el Lema de Schur, aunque ya se había utilizado anteriormente.​ Emilie Haynsworth fue la primera en llamarlo "complemento de Schur".​ El complemento de Schur es una herramienta clave en los campos de análisis numérico, estadística y análisis de matrices.