E (nombre)

Le nombre e est la base des logarithmes naturels, c'est-à-dire le nombre défini par ln ⁡ ( e ) = 1 {\displaystyle \ln(\mathrm {e} )=1} . Cette constante mathématique, également appelée nombre d'Euler ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier, vaut environ 2,71828. Ce nombre est défini à la fin du XVIIe siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation ln ⁡ ( e ) = 1 {\displaystyle \ln(\mathrm {e} )=1} ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation exp ⁡ ( x ) = e x {\displaystyle \exp(x)=\mathrm {e} ^{x}} . La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série : e = 1 + 1 1 + 1 1 × 2 + 1 1 × 2 × 3 + 1 1 × 2 × 3 × 4 + ⋯ = ∑ n = 0 + ∞ 1 n ! . {\displaystyle \mathrm {e} =1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3\times 4}}+\cdots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {1}{n!}}.} Ce nombre apparaît aussi comme limite de la suite numérique de terme général ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} et dans de nombreuses formules en analyse telles que l'identité d'Euler e i π = − 1 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }=-1} ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire. Euler démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela...