Fonction W de Lambert

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction f de variable complexe définie par f(w) = w ew, c'est-à-dire que pour tout nombre complexe z et w, nous avons : z = w e w ⟺ w = W ( z ) . {\displaystyle z=w\mathrm {e} ^{w}\;\Longleftrightarrow \;w=W(z).} Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles x ⩾ − 1 e {\displaystyle x\geqslant -{\frac {1}{\mathrm {e} }}} . Une des branches, la branche principale, W0 peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, –1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, –1/e], on a : W 0 ( z ) e W 0 ( z ) = z . {\displaystyle W_{0}(z)\mathrm {e} ^{W_{0}(z)}=z\,.} La fonction x e x {\displaystyle xe^{x}} réalise une bijection [ − 1 , + ∞ [ {\displaystyle \left[-1,+\infty \right[} sur [ − e − 1 , + ∞ [ {\displaystyle \left[-e^{-1},+\infty \right[} . On appelle fonction de Lambert la réciproque de cette fonction, et on la note en général W {\displaystyle W} . La fonction W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.