Problème einstein

En géométrie plane, le problème einstein s'interroge sur l'existence d'une tuile unique connexe formant un pavage apériodique du plan. L'appellation est un jeu de mots humoristique faisant apparemment référence à Albert Einstein, mais venant en fait de l'allemand, « ein Stein » signifiant « un pavé ». En mars 2023, quatre chercheurs, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan et Chaim Goodman-Strauss annoncent qu'ils ont trouvé une telle tuile polygonale qu'ils appellent « le chapeau ». Le chapeau est un polygone à 13 côtés, réunion de huit cerfs-volants tracés dans un réseau d'hexagones et de leurs médianes (voir figure). Cette tuile permet de réaliser un pavage apériodique du plan. Toutefois ce recouvrement apériodique du plan est une juxtaposition utilisant le chapeau et son retourné par une symétrie axiale (tuiles foncées sur la figure). 10 semaines plus tard, la même équipe poste une nouvelle pré-publication à propos d'une nouvelle famille de formes appelée "spectre" liée au "chapeau" qui permet de paver le plan uniquement à partir de rotations et translations. De plus, le « spectre » est une monotuile apériodique « strictement chiral » : même avec des réflexions, chaque pavage est non périodique et n'utilise qu'une seule chiralité du spectre. Autrement dit, il n'existe aucun pavage du plan qui utilise à la fois le spectre et son miroir.