Identidade de Parseval

Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh. Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função, ‖ f ‖ L 2 ( − π , π ) 2 = ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 {\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}(-\pi ,\pi )}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}} onde os coeficientes de Fourier c n {\displaystyle c_{n}} de f {\displaystyle f} são dados por c n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x . {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx.} Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido f {\displaystyle f} é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp L 2 [ − π , π ] . {\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ].} Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para f ∈ L 2 ( R ) , {\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ),} ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ = ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x . {\displaystyle...