Produto tensorial

Em matemática, o produto tensorial V ⊗ W de dois espaços vetoriais V e W (sobre o mesmo corpo) é um espaço vetorial, dotado de uma operação de composição bilinear, denotada por ⊗, de pares ordenados do produto Cartesiano V × W sobre V ⊗ W, de uma maneira que generaliza o produto externo. O produto tensorial de V e W é o espaço vetorial gerado pelos símbolos v ⊗ w, com v ∈ V e w ∈ W, em que as relações de bilinearidade são impostas para o produto ⊗, e não são assumidas quaisquer outras relações. O espaço produto tensorial é, assim, o espaço vetorial "mais livre" (ou o mais geral), no sentido de ter o menor número de restrições. O produto tensorial de espaços vetoriais (de dimensão finita) tem dimensão igual ao produto das dimensões dos dois fatores: dim ⁡ ( V ⊗ W ) = dim ⁡ V × dim ⁡ W . {\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\times \dim W.} Em particular, isto distingue o produto tensorial da soma direta de espaços vetoriais, cuja dimensão é a soma das dimensões das duas parcelas: dim ⁡ ( V ⊕ W ) = dim ⁡ V + dim ⁡ W . {\displaystyle \dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W.} De modo mais geral, o produto tensorial pode ser estendido a outras categorias de objetos matemáticos, além de espaços vetoriais, tais como matrizes, tensores, álgebras, espaços vetoriais topológicos, e módulos. Em cada caso, a operação de produto tensorial é caracterizada por uma propriedade universal semelhante: ela é a operação bilinear mais livre. O conceito geral de um "produto tensorial" é capturado por categorias monoidais, isto é, a classe de todas as coisas que têm um produto tensorial é uma categoria monoidal.