Transformada de Mellin

Em matemática a transformada de Mellin de uma função f {\displaystyle f} , definida sobre o eixo real positivo, é a integral M { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) ⋅ t s − 1 d t ( 1 a ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\{f(t)\}\;=\;F(s)\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{s-1}\;dt\qquad (1a)} para a variável complexa s, desde que a integral seja convergente. A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é às vezes expressa com um fator normalizante 1 Γ ( s ) {\displaystyle 1 \over {\Gamma (s)}} , sendo Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} a função gama. A transformada de Mellin se relaciona com a transformada de Fourier e com a transformada de Laplace, mediante uma substituição de variáveis conveniente (ver detalhes abaixo). Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso f ( x ) = M − 1 { F ( s ) } = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ F ( s ) ⋅ x − s d s ( 1 b ) {\displaystyle f(x)={\mathcal {M}}^{-1}\{F(s)\}\;=\;{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)\cdot x^{-s}\;ds\qquad (1b)} com c adequadamente escolhido. Mediante a transformada de Mellin pode ser estabelecida uma relação entre uma série de Dirichlet e uma série de potências. Sejam f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n − s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}} e F ( z ) = ∑ n = 1 ∞ a n z n {\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}} com os mesmos a n {\displaystyle a_{n}} . Então f ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ F ( e − t ) t s − 1...