Logaritmo natural

En matemáticas, se denomina Logaritmo Natural al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2.718281828459 {\displaystyle 2.718281828459} . El logaritmo natural suele denotarse por ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} o como log e ⁡ ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)} , y en algunos casos, si la base e {\displaystyle e} está implícita, como log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} . El logaritmo natural de un número x {\displaystyle x} es la potencia a la cual el número e {\displaystyle e} debe ser elevado para ser igual a x {\displaystyle x} . Por ejemplo, ln ⁡ ( 7.5 ) {\displaystyle \ln(7.5)} es 2.0149 … {\displaystyle 2.0149\dots } pues e 2.0149 … = 7.5 {\displaystyle e^{2.0149\dots }=7.5} . El logaritmo natural de e {\displaystyle e} es 1 {\displaystyle 1} pues e 1 = e {\displaystyle e^{1}=e} , mientras que el logaritmo natural de 1 {\displaystyle 1} es 0 {\displaystyle 0} pues e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1} . Desde el punto de vista analítico, el logaritmo natural puede definirse para cualquier número real positivo a > 0 {\displaystyle a>0} como el área bajo la curva y = 1 / x {\displaystyle y=1/x} entre las rectas x = 1 {\displaystyle x=1} y x = a {\displaystyle x=a} . La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.​ Esta definición puede extenderse a los números complejos. El logaritmo natural es una función real con dominio de definición los números reales positivos: ln : R + → R {\displaystyle {\text{ln}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } y corresponde a la función inversa de la función exponencial natural: e ln x = x , para todo x > 0 {\displaystyle e^{{\text{ln}}\,x}=x{\text{, para todo }}x>0} ln...